半球上の一様分布点群(4) - 迷宮調査報告書

直交座標表現の半球上の一様分布点群（極座標が不要な場合）

http://d.hatena.ne.jp/senna_hpp/20061019/p1

素直にやると次のようになりそう

$(\xi_1,\xi_2) = (U[0, 1], U[0, 1])$
$(\theta,\phi) = (\cos^{-1}{\xi_1}, 2 \pi \xi_2)$
$(x,y,z) = (\sin{\theta} \cos{\phi}, \sin{\theta} \sin{\phi}, \cos{\theta})$
$(x,y,z) = (\sin(\cos^{-1}{\xi_1}) \cos{2 \pi \xi_2}, \sin(\cos^{-1}{\xi_1}) \sin{2 \pi \xi_2}, \cos{2 \pi \xi_1})$

しかし別に見つけた記述のように、次のようにもできる

半球

$(z,\phi) = (U[ 0, +1], U[ 0, 2 \pi])$
$(x,y,z) = (sqrt{1-z^2} \cos{\phi}, sqrt{1-z^2} \sin{\phi}, z)$

全球

$(z,\phi) = (U[-1, +1], U[ 0, 2 \pi])$
$(x,y,z) = (sqrt{1-z^2} \cos{\phi}, sqrt{1-z^2} \sin{\phi}, z)$

　可視化の方では[F3]キーでは元の記事の定義とかみ合う変換にしました。上記後者の方法を[F4]キーに追加しました。

plot@random on hemisphere

http://xelf.info/xna/XELF.HemispherePlot/publish.html

キーボード	モード分類	機能	起動時設定	関数
[F1]	球面分布	重点的サンプリング用分布	-	${\vec{\omega_d}} \quad = \quad (\theta,\phi) \quad = \quad (\cos^{-1}\sqrt{\xi_1},2\pi\xi_2)$
[F2]	球面分布	一様分布の失敗作	-	${\vec{\omega_d}} \quad = \quad (\theta,\phi) \quad = \quad (\frac{\pi}{2} \xi_1,2\pi\xi_2)$
[F3]	球面分布	一様分布（極座標を経由）	-	${\vec{\omega_d}} \quad = \quad (\theta,\phi) \quad = \quad (\cos^{-1} \xi_1,2\pi\xi_2)$
[F4]	球面分布	一様分布（直に直交座標）	●	$(z,\phi) = (U[ 0, +1], U[ 0, 2 \pi])\\(x,y,z) = (sqrt{1-z^2} \cos{\phi}, sqrt{1-z^2} \sin{\phi}, z)$
[F5]	入力乱数	乱数(65536諧調)	-
[F6]	入力乱数	量子化乱数(256諧調)	●
[F9]	分布範囲	半球	●
[F10]	分布範囲	全球	-

XNAβランタイムで動作します。
ClickOnce配布です。
実行環境を整えて起動するとフルスクリーン表示になります。
終了はWindows標準の[Alt]+[F4]などをご利用ください。
最初に点をたくさん打って、そのあと少しずつ書き換えていきます。
適当に回転します。
上記のキー入力によって分布条件を変更できます。